9. Даны комплексные числа: Вычислите:

Привет! Давай вместе поработаем над этими комплексными числами. На картинке у нас есть задание с тремя комплексными числами и несколько операций, которые нужно выполнить с этими числами. Я помогу тебе решить их по шагам.

Для начала напомню, что комплексное число состоит из действительной части (Re) и мнимой части (Im), и имеет форму a + bi, где i – мнимая единица (i² = -1).

а) \(z_1 + z_2\): Для сложения комплексных чисел нужно сложить отдельно их действительные и мнимые части. \(z_1 = 2 - 3i\) \(z_2 = i + 1\)

\(z_1 + z_2 = (2 - 3i) + (i + 1) = (2 + 1) + (-3i + i) = 3 - 2i\)

б) \(z_1 + z_3\): То же самое проделаем для \(z_1\) и \(z_3\). \(z_3 = -1 - i\)

\(z_1 + z_3 = (2 - 3i) + (-1 - i) = (2 - 1) + (-3i - i) = 1 - 4i\)

в) \(z_1 - z_2\): Для вычитания, также отдельно вычитаем действительные и мнимые части. \(z_1 - z_2 = (2 - 3i) - (i + 1) = (2 - 1) - (-3i - i) = 1 - 4i\)

г) \(z_2 - z_3\): Теперь вычтем \(z_3\) из \(z_2\). \(z_2 - z_3 = (i + 1) - (-1 - i) = (1 + 1) + (i + i) = 2 + 2i\)

д) \(z_1 \cdot z_2\): Для умножения распределяем каждый член первого числа на каждый член второго. \(z_1 \cdot z_2 = (2 - 3i) \cdot (i + 1) = 2i + 2 - 3i^2 - 3i = 2 - 3(-1) + i(2 - 3) = 2 + 3 + i(-1) = 5 - i\)

е) \(z_3^2\cdot z_2\): Сначала возведем \(z_3\) в квадрат, затем умножим на \(z_2\). \(z_3^2 = (-1 - i)^2 = (-1 - i)(-1 - i) = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i\)

Теперь умножим \(z_3^2\) на \(z_2\): \(z_3^2 \cdot z_2 = 2i \cdot (i + 1) = 2i^2 + 2i = 2(-1) + 2i = -2 + 2i\)

Надеюсь, это поможет тебе разобраться с комплексными числами. Если возникнут еще вопросы, смело спрашивай!