Вычислить log1/5 ⁴√125

Привет! Посмотрим на задачу, которую тебе нужно решить. Тебе нужно вычислить \(\log_{\frac{1}{5}} \sqrt[4]{125}\).

Давай разберемся с этим шаг за шагом.

Сначала заметим, что \(125\) это \(5^3\), а корень четвертой степени из \(5^3\) можно записать как \((5^3)^{\frac{1}{4}}\).

Теперь преобразуем это так:

\((5^3)^{\frac{1}{4}} = 5^{3 \cdot \frac{1}{4}} = 5^{\frac{3}{4}}\)

Теперь, когда мы знаем, что \(\sqrt[4]{125}\) это \(5^{\frac{3}{4}}\), мы можем записать логарифм:

\(\log_{\frac{1}{5}} 5^{\frac{3}{4}}\)

Используем свойство логарифмов, согласно которому \(\log_a b^c = c \cdot \log_a b\), получаем:

\(\frac{3}{4} \cdot \log_{\frac{1}{5}} 5\)

Поскольку \(\frac{1}{5}\) есть \(5^{-1}\), мы можем упростить выражение, используя свойство логарифма от обратного числа:

\(\log_{a^{-1}} b^{-1} = -\log_a b\)

Тогда:

\(\frac{3}{4} \cdot (-\log_5 5) = \frac{3}{4} \cdot (-1) = -\frac{3}{4}\)

Таким образом, \(\log_{\frac{1}{5}} \sqrt[4]{125}\) равно \(-\frac{3}{4}\).