Найди  � ′ ( 1 2 ) f ′ ( 2 1 ​ ), если  � ( � ) = 1 � 4 f(x)= x 4 1 ​ .

Окей, давай разберемся в этой задаче. Здесь нам нужно найти значение первой производной функции \( f \) в точке \( \frac{1}{2} \), если известно, что \( f(x) = \frac{1}{x^4} \).

Чтобы находить производные таких функций, используем правило дифференцирования степенной функции. Производная функции \( f(x) = x^n \) равна \( f'(x) = nx^{n-1} \). Но здесь у нас функция вида \( \frac{1}{x^4} \), что можно переписать как \( x^{-4} \). Теперь применим правило.

Производная от \( x^{-4} \) будет \( -4x^{-4 - 1} = -4x^{-5} \). Теперь нужно подставить точку \( \frac{1}{2} \) в полученную производную.

Таким образом, \( f'\left(\frac{1}{2}\right) = -4\left(\frac{1}{2}\right)^{-5} \). Вычислим это значение:

\( f'\left(\frac{1}{2}\right) = -4 \cdot 2^5 = -4 \cdot 32 = -128 \).

Итак, значение первой производной функции \( f \) в точке \( \frac{1}{2} \) равно \( -128 \).