Развёрнуто реши уравнение

Чтобы решить это уравнение, давай сначала упростим его. У нас есть выражение:

\[ \frac{1 - \cos{2x} - \sin{x}}{\cos{x}-1} = 0 \]

Используем формулу двойного угла для косинуса: \[\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x} \] или \[\cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1.\] Выбираем ту, которая поможет нам упростить дробь:

\[ \cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1 \]

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[ \frac{1 - (2\cos^2{x} - 1) - \sin{x}}{\cos{x} - 1} = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{1 - 2\cos^2{x} + 1 - \sin{x}}{\cos{x} - 1} = 0 \]

\[ \frac{2 - 2\cos^2{x} - \sin{x}}{\cos{x} - 1} = 0 \]

Теперь заметим, что знаменатель \(\cos{x} - 1\) можно представить как \(-2\sin^2{\frac{x}{2}}\) (это следует из формулы приведения половинного угла для косинуса). Упростим числитель, разделив его на 2:

\[ \frac{1 - \cos^2{x} - \frac{\sin{x}}{2}}{-\sin^2{\frac{x}{2}}} = 0 \]

Далее используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\), откуда \(\cos^2{a} = 1 - \sin^2{a}\). Тогда:

\[ \frac{1 - (1 - \sin^2{x}) - \frac{\sin{x}}{2}}{-\sin^2{\frac{x}{2}}} = 0 \]

\[ \frac{\sin^2{x} - \frac{\sin{x}}{2}}{-\sin^2{\frac{x}{2}}} = 0 \]

Преобразуем выражение в числителе, вынеся \(\sin{x}\) за скобки:

\[ \frac{\sin{x}(\sin{x} - \frac{1}{2})}{-\sin^2{\frac{x}{2}}} = 0 \]

Чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю (по условию, знаменатель не может быть нулем, иначе это неопределенность). Таким образом, мы имеем систему:

\[ \sin{x} = 0 \] \[ \sin{x} - \frac{1}{2} = 0 \]

Решаем каждое уравнение:

1. \(\sin{x} = 0\), это значит, что \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число.
2. \(\sin{x} = \frac{1}{2}\), это значит, что \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Таким образом, общее решение будет:

\[ x = k\pi, \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \]

где \(k\) и \(n\) - целые числа.