Решить задачу 319
Привет! Давай вместе решим задачу 319.
Сначала нужно понять условие. В партии 10% нестандартных деталей. Это означает, что вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется нестандартной, составляет 0.1 (или 10/100).
Из этой партии отбирают 4 детали. Мы предполагаем, что отбор деталей независим друг от друга. Нам нужно найти закон распределения количества нестандартных деталей среди отобранных.
Будем использовать биномиальное распределение, потому что у нас есть фиксированное количество испытаний (4 отбора), два возможных исхода (стандартная или нестандартная деталь), а вероятность успеха (нахождения нестандартной детали) постоянна при каждом испытании (0,1).
Биномиальное распределение задается следующей формулой для вероятности \(P(X = k)\), где \(k\) – количество успехов (нестандартных деталей):
\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где
- \(C_n^k\) – количество сочетаний из \(n\) по \(k\),
- \(p\) – вероятность успеха,
- \(n\) – количество испытаний,
- \(1-p\) – вероятность неуспеха.
Количество сочетаний находим по формуле:
\[ C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
где \( ! \) означает факториал числа.
Нам нужно найти вероятности для \(k = 0, 1, 2, 3, 4\) – количество нестандартных деталей может варьироваться от 0 до 4.
Подставим в формулы значения и вычислим:
Для \(k = 0\): \[ P(X = 0) = C_4^0 \cdot 0.1^0 \cdot (1 - 0.1)^{4-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0.9^4 \] \[ P(X = 0) = 0.6561 \]
Для \(k = 1\): \[ P(X = 1) = C_4^1 \cdot 0.1^1 \cdot (1 - 0.1)^{4-1} = 4 \cdot 0.1 \cdot 0.9^3 \] \[ P(X = 1) = 0.2916 \]
Для \(k = 2\): \[ P(X = 2) = C_4^2 \cdot 0.1^2 \cdot (1 - 0.1)^{4-2} = 6 \cdot 0.01 \cdot 0.9^2 \] \[ P(X = 2) = 0.0486 \]
Для \(k = 3\): \[ P(X = 3) = C_4^3 \cdot 0.1^3 \cdot (1 - 0.1)^{4-3} = 4 \cdot 0.001 \cdot 0.9 \] \[ P(X = 3) = 0.0036 \]
Для \(k = 4\): \[ P(X = 4) = C_4^4 \cdot 0.1^4 \cdot (1 - 0.1)^{4-4} = 1 \cdot 0.0001 \cdot 1 \] \[ P(X = 4) = 0.0001 \]
Сумма этих вероятностей должна быть равна 1, поскольку одно из этих событий обязательно произойдет:
\[ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 1 \]
Таким образом, закон распределения количества нестандартных деталей в выборке будет выглядеть примерно так:
- 0 нестандартных деталей: вероятность примерно 0.6561
- 1 нестандартная деталь: вероятность примерно 0.2916
- 2 нестандартные детали: вероятность примерно 0.0486
- 3 нестандартные детали: вероятность примерно 0.0036
- 4 нестандартные детали: вероятность примерно 0.0001
Теперь мы знаем, что, например, вероятность выбрать ровно одну нестандартную деталь составляет примерно 0.2916 или 29.16%. Это наиболее вероятное количество нестандартных деталей в отобранной выборке, помимо варианта, когда все детали стандартные (вероятность 0.6561 или 65.61%).
