Ответ

Привет! Давай вместе решим эту задачу.

Нам нужно найти первообразную функции \( f(x) = 2x^3 + 2x \). Первообразная - это функция, производная которой дает исходную функцию.

Для \( x^3 \) первообразная будет \( \frac{x^4}{4} \), так как производная от \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \), и если мы возьмем производную от \( \frac{x^4}{4} \), получим \( x^3 \). Не забудем умножить на коэффициент перед \( x^3 \), то есть на 2, получится \( \frac{2x^4}{4} = \frac{x^4}{2} \).

Теперь посмотрим на \( 2x \), его первообразная будет \( x^2 \), так как производная \( x^2 \) равна \( 2x \). Умножать на 2 здесь не нужно, так как это уже учтено.

Получается, первообразная для исходной функции будет \( \frac{x^4}{2} + x^2 + C \), где \( C \) — константа интегрирования.

Из предложенных вариантов ответов выбираем тот, который соответствует найденной первообразной. Это будет первый вариант: \( \frac{x^4}{2} + x^2 + C \).