Ответ

На картинке вопрос по математике: нужно найти функцию, которая является первообразной для данной функции \( f(x) = \frac{3 - e^x}{x} \).

Подумаем вместе. Первообразная функция - это такая функция F(x), производная которой равна f(x). Поскольку \( f(x) \) состоит из двух слагаемых, давай разберемся с каждым из них отдельно.

Первое слагаемое, 3/x, представляет собой функцию, первообразной которой является \( 3\ln|x| \), потому что производная от \( \ln|x| \) равна 1/x, и этот результат надо умножить на 3, чтобы получить исходное слагаемое.

Второе слагаемое, -e^x/x, можно посмотреть как произведение двух функций: g(x) = -e^x и h(x) = 1/x. Если бы мы искали производную этого произведения, то использовали бы правило производной произведения (правило Лейбница), однако так как нужно найти первообразную, прямо использовать это правило мы не можем. Но мы можем заметить, что сама функция -e^x уже является производной от -e^x. Таким образом, при поиске первообразной ее можно не изменять.

Таким образом, суммируя полученные первообразные, получим первообразную для всей функции f(x): \( F(x) = 3\ln|x| - e^x + C \), где C - некоторая константа интегрирования.

На картинке есть варианты ответа, и один из них \( 3\ln x - e^x \), он подходит к нашим рассуждениям, если x > 0 (чтобы логарифм был определен). Логарифм от |x| и от x будут отличаться только в знаке, когда x < 0, но поскольку именно \( 3\ln x - e^x \) представлен в вариантах ответа, выберем его.

Итак, правильный ответ: \( 3\ln x - e^x \).