Тонкий бесконечно длинный проводник с током I = 10 А согнут. Участок проводника АВ = а = 10 см. Определите индукцию В магнитного поля в точке О, находящейся на пересечении биссектрис прямых углов.

Question 1

Задача Задача №97614

А

Аноним

08 декабря 2023 06:07 · публичный вопрос

А

Аноним 08 декабря 2023 06:07

Тонкий бесконечно длинный проводник с током I = 10 А согнут. Участок проводника АВ = а = 10 см. Определите индукцию В магнитного поля в точке О, находящейся на пересечении биссектрис прямых углов.

Answer

Для определения индукции магнитного поля в точке O на пересечении биссектрис прямых углов согнутого проводника необходимо применить закон Био-Савара-Лапласа.

Закон Био-Савара-Лапласа гласит, что индукция магнитного поля в точке O, создаваемая малым элементом провода ds с током I, вычисляется по формуле:

dБ = (µ₀ / 4π) * (I * ds × r) / r³,

где

µ₀ - магнитная постоянная (4π × 10^-7 Тл/А·м),
I - ток в проводнике (в данном случае 10 А),
ds - вектор малого элемента провода,
r - вектор, указывающий из ds в точку O.

Так как мы имеем дело с согнутым проводником, для удобства рассмотрим только участок AB, т.е. игнорируя остальные части проводника.

Полученное значение индукции магнитного поля dБ для каждого элемента ds провода будет иметь направление, перпендикулярное плоскости провода и прямой, проходящей через ds и точку O.

Суммируя все значения dБ для всех элементов ds провода, получим индукцию магнитного поля Б в точке O.

Так как проводник бесконечно длинный и тонкий, элементы ds провода будут располагаться по прямой линии на расстоянии а друг от друга.

Для упрощения расчёта, выберем систему координат таким образом, чтобы ось x проходила через точку O, а ось y - перпендикулярна проводнику AB.

Так как у нас симметричная ситуация, можно рассмотреть два соседних элемента ds, расположенных на расстояниях ±a/2 от точки O.

Тогда длина ds будет равна dy = a/2.

Интегрирование по координате y от -∞ до +∞ даст нам полное значение индукции магнитного поля в точке O.

Таким образом, мы можем рассчитать магнитное поле в точке O:

Б = ∫(от -∞ до +∞) dБ = ∫(от -∞ до +∞) (µ₀ / 4π) * (I * ds × r) / r³.

Поскольку при интегрировании значение ds остаётся постоянным, его можно вынести из-под знака интеграла:

Б = (µ₀ / 4π) * (I / r³) * ∫(от -∞ до +∞) (ds × r).

Определим направление ds × r.

Исходно проводник AB согнут, поэтому одна его часть строго горизонтальна, а другая - вертикальна.

Проведём биссектрису угла между горизонтальной и вертикальной частями проводника. Пусть она будет лежать на оси y там, где начинается горизонтальная часть проводника, т.е. в точке B.

Так как рассматриваемые элементы ds провода находятся на расстоянии а/2 от точки O, то их координата y будет равна ±a/2.

Из геометрических соображений можно определить р. Вектор r параллелен оси x и направлен к точке O.

Таким образом, направление вектора ds × r будет определяться знаком координаты y:

ds × r = (a/2) × (-x) = -a/2 * x.

Подставим полученное значение в формулу магнитного поля:

Б = (µ₀ / 4π) * (I / r³) * ∫(от -∞ до +∞) (-a/2 * x) dx.

Интегрируя, получим:

Б = (µ₀ * I * a / 8πr³) * [∫(от -∞ до +∞) x dx] = (µ₀ * I * a / 8πr³) * [(x²/2) | (от -∞ до +∞)] = (µ₀ * I * a / 8πr³) * [(∞ - (-∞))²/2] = (µ₀ * I * a / 8πr³) * [∞²/2 - (-∞)²/2] = (µ₀ * I * a / 8πr³) * [∞ - ∞] = 0.

Таким образом, индукция магнитного поля в точке O, находящейся на пересечении биссектрис прямых углов согнутого проводника, равна нулю.

Question 2

Тонкий бесконечно длинный проводник с током I = 10 А согнут. Участок проводника АВ = а = 10 см. Определите индукцию В магнитного поля в точке О, находящейся на пересечении биссектрис прямых углов.

Answer

Для определения индукции магнитного поля в точке O на пересечении биссектрис прямых углов согнутого проводника необходимо применить закон Био-Савара-Лапласа. Закон Био-Савара-Лапласа гласит, что индукция магнитного поля в точке O, создаваемая малым элементом провода ds с током I, вычисляется по формуле: dБ = (µ₀ / 4π) * (I * ds × r) / r³, где - µ₀ - магнитная постоянная (4π × 10^-7 Тл/А·м), - I - ток в проводнике (в данном случае 10 А), - ds - вектор малого элемента провода, - r - вектор, указывающий из ds в точку O. Так как мы имеем дело с согнутым проводником, для удобства рассмотрим только участок AB, т.е. игнорируя остальные части проводника. Полученное значение индукции магнитного поля dБ для каждого элемента ds провода будет иметь направление, перпендикулярное плоскости провода и прямой, проходящей через ds и точку O. Суммируя все значения dБ для всех элементов ds провода, получим индукцию магнитного поля Б в точке O. Так как проводник бесконечно длинный и тонкий, элементы ds провода будут располагаться по прямой линии на расстоянии а друг от друга. Для упрощения расчёта, выберем систему координат таким образом, чтобы ось x проходила через точку O, а ось y - перпендикулярна проводнику AB. Так как у нас симметричная ситуация, можно рассмотреть два соседних элемента ds, расположенных на расстояниях ±a/2 от точки O. Тогда длина ds будет равна dy = a/2. Интегрирование по координате y от -∞ до +∞ даст нам полное значение индукции магнитного поля в точке O. Таким образом, мы можем рассчитать магнитное поле в точке O: Б = ∫(от -∞ до +∞) dБ = ∫(от -∞ до +∞) (µ₀ / 4π) * (I * ds × r) / r³. Поскольку при интегрировании значение ds остаётся постоянным, его можно вынести из-под знака интеграла: Б = (µ₀ / 4π) * (I / r³) * ∫(от -∞ до +∞) (ds × r). Определим направление ds × r. Исходно проводник AB согнут, поэтому одна его часть строго горизонтальна, а другая - вертикальна. Проведём биссектрису угла между горизонтальной и вертикальной частями проводника. Пусть она будет лежать на оси y там, где начинается горизонтальная часть проводника, т.е. в точке B. Так как рассматриваемые элементы ds провода находятся на расстоянии а/2 от точки O, то их координата y будет равна ±a/2. Из геометрических соображений можно определить р. Вектор r параллелен оси x и направлен к точке O. Таким образом, направление вектора ds × r будет определяться знаком координаты y: ds × r = (a/2) × (-x) = -a/2 * x. Подставим полученное значение в формулу магнитного поля: Б = (µ₀ / 4π) * (I / r³) * ∫(от -∞ до +∞) (-a/2 * x) dx. Интегрируя, получим: Б = (µ₀ * I * a / 8πr³) * [∫(от -∞ до +∞) x dx] = (µ₀ * I * a / 8πr³) * [(x²/2) | (от -∞ до +∞)] = (µ₀ * I * a / 8πr³) * [(∞ - (-∞))²/2] = (µ₀ * I * a / 8πr³) * [∞²/2 - (-∞)²/2] = (µ₀ * I * a / 8πr³) * [∞ - ∞] = 0. Таким образом, индукция магнитного поля в точке O, находящейся на пересечении биссектрис прямых углов согнутого проводника, равна нулю.