Перевіряючи, чи лежать кінці чотирьох ніжок стільця в одній площині, тесля користується двома нитками. Як він робить це?
Хорошо, давай посмотрим, что у нас есть:
Задача A1: Точки \(M\) и \(K\) принадлежат рёбрам \(BB_1\) и \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(T\) лежит на прямой \(MK\). К какой плоскости принадлежит точка \(T\)?
Для решения задачи нам нужно вспомнить, что в кубе противоположные грани параллельны друг другу и рёбра, выходящие из одной вершины, перпендикулярны. Точки \(M\) и \(K\) находятся на рёбрах, выходящих из вершины \(B\) и \(C\) соответственно, значит, плоскость, которой они принадлежат, будет плоскостью перпендикулярной основанию куба и проходящей через прямую \(BC\).
Так как точка \(T\) лежит на прямой \(MK\), она тоже будет находиться в той же плоскости. Поэтому правильный ответ будет плоскость \(BB_1C_1\), то есть вариант ответа 3) \(BB_1C_1\).
Теперь посмотрим на следующую задачу:
Задача A2: Точки \(M\) и \(N\) являются серединами рёбер \(AB\) и \(BC\) параллелепипеда \(DABC\). По какой прямой пересекаются плоскости \(BDM\) и \(ACN\)?
Поскольку \(M\) и \(N\) - середины рёбер, \(MN\) будет диагональю одного из граней параллелепипеда. Плоскость \(BDM\) содержит ребро \(BD\) и точку \(M\), которая лежит на \(AB\), поэтому она будет перпендикулярна плоскости \(ABCD\). Аналогично, плоскость \(ACN\) будет содержать диагональ \(AC\) и точку \(N\) - эта плоскость также окажется перпендикулярной основанию параллелепипеда.
Так как обе плоскости перпендикулярны \(ABCD\), они пересекутся по прямой, перпендикулярной этой грани, и эта прямая будет параллельна прямой \(BD\), так как \(BD\) - единственное общее ребро для этих плоскостей. Таким образом, правильный ответ 3) \(MN\).
И последняя задача:
Задача A3: Точки \(A\) и \(B\) принадлежат рёбрам \(MN\) и \(M_1N_1\) куба \(KLMNK_1L_1M_1N_1\). Через какие указанные точки можно провести единственную плоскость?
Для того чтобы через точки можно было провести плоскость, эти точки не должны лежать на одной прямой. В кубе противоположные грани параллельны, а значит точки на противоположных рёбрах как \(MN\) и \(M_1N_1\), соединённые прямой, будут параллельны другой грани куба. В нашем случае, чтобы через \(A\) и \(B\) можно было провести плоскость, нам нужны точки не лежащие на прямой с \(A\) и \(B\), и при этом не параллельной рёбрам с точками \(A\) и \(B\).
Если взять точку \(M\) и \(L\), лежащие на ребре \(MN\), и соединить их с \(A\) и \(B\), мы получим единственную плоскость, так как прямая \(ML\) не параллельна прямой \(AB\) и точки \(A\), \(B\), \(M\), \(L\) не лежат на одной прямой. Таким образом, правильный ответ – 3) \(N\), \(A\), \(L\).
Так что наши ответы для каждой задачи: A1: 3) \(BB_1C_1\) A2: 3) \(MN\) A3: 3) \(N\), \(A\), \(L\)
