Точки А и В лежат на сфере, М лежит на АВ. Докажите, что, если М – середина АВ, то ОМ перпендикулярна АВ, где О – центр сферы.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим следующее:

1. Пусть O - центр сферы, А и В - точки на сфере, M - их середина, М лежит на отрезке АВ.

2. Предположим, что OМ не перпендикулярна АВ. Тогда проведем OМ до точки P, которая будет перпендикулярна отрезку АВ.

3. Рассмотрим треугольник OMP. Так как OМ не перпендикулярна АВ, то угол ОPM не является прямым углом.

4. Но так как M - середина отрезка АВ, то угол ОPM должен быть прямым, так как PM - это радиус сферы, а радиус проведен к касательной к сфере образует прямой угол.

5. Полученное противоречие доказывает, что OМ должна быть перпендикулярна к отрезку АВ.

Таким образом, если M - середина отрезка АВ, то ОМ будет перпендикулярна АВ.