.

Привет! Давай вместе решим данное тригонометрическое задание.

У нас есть значение косинуса \( \cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5} \), и нам нужно найти \( 5\sin \alpha \). Синус и косинус связаны друг с другом через теорему Пифагора:

\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \]

Таким образом, чтобы найти \( \sin \alpha \), мы можем выразить его через косинус:

\[ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 \]

Теперь подставим значение косинуса и посчитаем:

\[ \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \left(\frac{24}{25}\right) = \frac{25}{25} - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} \]

Теперь найдем значение синуса. Поскольку \( \alpha \) лежит в интервале \( \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) \), мы находимся в четвертой четверти, где синус отрицателен:

\[ \sin\alpha = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5} \]

Теперь умножим на 5, чтобы получить \( 5\sin \alpha \):

\[ 5\sin \alpha = 5 \left(-\frac{1}{5}\right) = -1 \]

Ответ: \( 5\sin \alpha = -1 \).

Надеюсь, это объяснение поможет тебе разобраться! Если что-то непонятно, пиши, обсудим.