5) Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение (X & 102 0) ((X & 36 = 0) (X & A 0)) тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?
Для того чтобы выражение было тождественно истинно, необходимо, чтобы условие выполнялось при любом натуральном значении переменной X. Рассмотрим выражение внимательно:
(X & 102 ≠ 0) → ((X & 36 = 0) → (X & A ≠ 0))
Здесь "&" обозначает поразрядное "и" (AND), а "→" - логическую импликацию.
Теперь проанализируем:
Чтобы (X & 102 ≠ 0) было истинно, X должно содержать 1 в двоичном разложении в тех разрядах, где в числе 102 также есть 1. То есть 102 = 1100110 в двоичной системе, таким образом, нужны единицы в 2, 3, 6 разрядах.
Далее, чтобы ((X & 36 = 0) → (X & A ≠ 0)) выполнялось всегда, необходимо, чтобы когда 36 = 100100 в двоичной системе, в X были нули в соответствующих разрядах, то есть 3 и 5.
Таким образом, A должно быть подобрано так, чтобы включать в себя разряды, где нули в 36, но единицы в 102. Минимальное число А, удовлетворяющее всем условиям, будет 22 в двоичной системе (10110).
Следовательно, наименьшее натуральное число A, при котором данное выражение тождественно истинно при любом X, равно 22.
