Найти первообразную функцию

Так, нам нужно найти первообразную данной функции. Возьмем каждый член функции по очереди:

1. Для \(\frac{1}{\sin^2 x}\) можно использовать тригонометрическую идентичность \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\), тогда это выражение будет равно \(\csc^2 x\), а первообразная от \(\csc^2 x\) будет \(-\cot x\).

2. Для \(\frac{1}{2x+1}\) используем метод подстановки; положим \(u = 2x+1\), тогда \(dx = \frac{du}{2}\), и интеграл от этого члена будет \(\frac{1}{2} \ln |2x+1|\).

3. И наконец, \(-e^{4x}\) - здесь можно применить правило интегрирования экспоненциальной функции, получим \(-\frac{1}{4}e^{4x}\).

Теперь соберем все вместе:

\(F(x) = -\cot x + \frac{1}{2} \ln |2x+1| - \frac{1}{4}e^{4x} + C\),

где \(C\) - константа интегрирования.