Производная

Привет! Давай разберемся вместе.

У нас есть функция \( f(x) = 0.4\sqrt{x} - 3x + 2 \), и нам нужно найти её наибольшее значение на отрезке [16;36].

Для этого нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем производную функции \( f(x) \), чтобы понять, где у нее экстремумы (максимумы и минимумы) на интересующем нас интервале.
2. Решим уравнение \( f'(x) = 0 \), чтобы найти критические точки внутри отрезка.
3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка [16;36].
4. Сравним полученные значения и выберем самое большое.

Давай начнем:

1. \( f'(x) = 0.4 * \frac{1}{2\sqrt{x}} - 3 \) (используем правила дифференцирования: (sqrt(x))' = 1/(2sqrt(x)) и (cx)' = c).
2. \( f'(x) = \frac{0.4}{2\sqrt{x}} - 3 = \frac{0.2}{\sqrt{x}} - 3 \)
3. Чтобы найти критические точки, решим \( f'(x) = 0 \): \( \frac{0.2}{\sqrt{x}} - 3 = 0 \) \( \frac{0.2}{\sqrt{x}} = 3 \) \( 0.2 = 3\sqrt{x} \) \( \sqrt{x} = \frac{0.2}{3} \) \( x = \left(\frac{0.2}{3}\right)^2 \)

Так как \( x \) получился очень маленьким и точно не входит в наш отрезок [16;36], у нас нет критических точек внутри интервала, которые мы должны проверить.

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка:

• \( f(16) = 0.4\sqrt{16} - 3*16 + 2 = 0.4*4 - 48 + 2 = 1.6 + 2 - 48 = -44.4 \)
• \( f(36) = 0.4\sqrt{36} - 3*36 + 2 = 0.4*6 - 108 + 2 = 2.4 + 2 - 108 = -103.6 \)

Сравнивая значения \( f(16) \) и \( f(36) \), видим, что наибольшее значение функции на отрезке [16;36] будет в точке \( x = 16 \), и это значение равно -44.4.

Таким образом, наибольшее значение функции \( f(x) \) на отрезке [16;36] равно -44.4.