Помоги решить
Привет! Давай вместе решим эту задачу. На фотографии я вижу систему неравенств:
\[ \begin{cases} 4x^2 - x > 0, \\ x^2 - 3x - 28 < 0. \end{cases} \]
Начнем с первого неравенства:
- \(4x^2 - x > 0\) Для того чтобы решить это неравенство, найдем корни характеристического квадратного уравнения, приравняв выражение к нулю:
\(4x^2 - x = 0\)
Разделим все на x (при условии, что x не равно нулю), получим:
\(4x - 1 = 0\)
Отсюда x = 1/4. Это единственный корень, потому что мы получили линейное уравнение после деления на x.
Теперь строим числовую прямую и расставляем знаки на интервалах. Так как старший коэффициент положительный и степень четная, то ветви параболы смотрят вверх, а это значит, что неравенство будет выполняться при x < 1/4 и x > 0.
Теперь переходим ко второму неравенству:
- \(x^2 - 3x - 28 < 0\) Решим соответствующее квадратное уравнение:
\(x^2 - 3x - 28 = 0\)
Это уравнение имеет два корня. Их можно найти через дискриминант или факторизовать как:
\((x - 7)(x + 4) = 0\)
Откуда получаем два корня: x = 7 и x = -4.
Теперь, используя эти корни, поместим знаки на числовой прямой, учитывая, что при x < -4 и x > 7 уравнение будет иметь положительные значения, а значит, интересующий нас интервал, где выражение отрицательно, находится между корнями, т.е. (-4; 7).
Теперь находим пересечение интервалов решений двух неравенств: (0; 1/4) и (-4; 7). Их пересечение дает нам интервал (0; 1/4), ведь только эти значения x удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.
Это наше решение системы неравенств. Удачи с остальными задачами!
