.

Привет! Давай вместе разберёмся с этим примером.

У нас есть дифференциальное уравнение вида \( y'' - y = 9e^{2x} \).

Для его решения нужно найти общее решение однородного уравнения: \( y'' - y = 0 \).

Ищем корни характеристического уравнения: \( m^2 - 1 = 0 \). Получаем \( m_1 = 1 \) и \( m_2 = -1 \). Общее решение однородного уравнения будет выглядеть как: \( y_{\text{одн}} = C_1e^{x} + C_2e^{-x} \), где \( C_1 \) и \( C_2 \) — константы интегрирования.

Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Тут видим правую часть \( 9e^{2x} \), которая представляет собой типичный случай для метода неопределённых коэффициентов. Значит, будем искать частное решение в виде: \( y_{\text{част}} = Ae^{2x} \).

Подставляем \( y_{\text{част}} \) в неоднородное уравнение: \( (4Ae^{2x}) - Ae^{2x} = 9e^{2x} \).

Отсюда находим \( A \): \( 4A - A = 9 \), \( 3A = 9 \), \( A = 3 \).

Значит, \( y_{\text{част}} = 3e^{2x} \).

Итак, общее решение исходного неоднородного уравнения будет состоять из суммы общего решения однородного и частного неоднородного: \( y = y_{\text{одн}} + y_{\text{част}} \), \( y = C_1e^{x} + C_2e^{-x} + 3e^{2x} \).

Вот такое вот решение у нас получается. Если что-то непонятно – спрашивай, разберём более подробно!