.

Привет! Давай вместе решим эту задачу. Итак, у нас есть космический зонд, который движется по низкой круговой орбите вокруг карликовой планеты, делая один оборот за 135 минут. Нам нужно найти среднюю плотность \( \rho \) этой карликовой планеты. Мы будем использовать третий закон Кеплера в форме, применимой к космическому зонду, который обращается вокруг планеты:

\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{G \cdot M} \cdot r^3 \]

где:

• \( T \) - период обращения (нужно перевести из минут в секунды),
• \( G \) - гравитационная постоянная,
• \( M \) - масса планеты,
• \( r \) - радиус орбиты.

Средняя плотность планеты \( \rho \) выражается как:

\[ \rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi r^3} \]

Теперь давай выразим массу планеты \( M \) из первого уравнения и подставим во второе:

\[ M = \frac{T^2 \cdot G}{4\pi^2} \cdot r^3 \]

Окончательно формула для плотности будет выглядеть так:

\[ \rho = \frac{\frac{T^2 \cdot G}{4\pi^2} \cdot r^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{3T^2 \cdot G}{4\pi^4 \cdot r^3} \cdot r^3 \]

Так как \( r^3 \) сокращается, получим:

\[ \rho = \frac{3T^2 \cdot G}{4\pi^4} \]

Теперь подставляем числа. Не забудем, что нам нужно перевести минуты в секунды:

\[ T = 135 \text{ мин} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 8100 \text{ с} \]

\[ \rho = \frac{3 \times (8100 \text{ с})^2 \times 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}}{4 \times (\pi^2)^2} \]

После вычислений (не забудем перевести в \( \text{г}/\text{см}^3 \), для этого разделим кг на 1000, чтобы получить граммы, и кубические метры на \(10^{6}\), чтобы получить кубические сантиметры), округлим ответ до сотых.

Сделаем вычисления (если захочешь, можем делать их вместе пошагово).