В компьютер ввели натуральное число. Каждую минуту с числом совершается одна из следующих операций: если число больше 1000, то из него вычитается 3; если число не больше 1000, то с ним совершается операция  𝑋 . Известно, что числа в компьютере зацикливаются независимо от того, какое именно натуральное число было введено изначально. Какой может быть операция  𝑋 ?

Привет! Давай попробуем вместе разобраться с этой задачей.

Чтобы числа с компьютера зацикливались, нужна такая операция Х, которая будет возвращать число в такое состояние, из которого оно сможет вновь достигнуть числа больше 1000, и с ним вновь будет выполнена операция вычитания 3. Если бы операция Х всегда уменьшала число, то рано или поздно все числа достигли бы настолько малого значения, что не смогли бы снова стать больше 1000, а значит, цикл завершился бы.

Допустим, Х увеличивает наше число. Тогда если мы дойдём до числа 1001, операция Х должна быть такова, чтобы возвратить нас как минимум к числу 1001 или больше после нескольких выполнений (включая операции вычитания по 3). Таким образом, логичным видится операция увеличения на 3, поскольку тогда мы можем зациклиться, возвращаясь к числу 1001 после вычитания тройки, увеличения его снова на 3 и так далее.

Однако, число 1001 не единственно, и наша операция Х должна работать со всеми числами до 1000 так, чтобы они могли за цикл операций стать больше 1000. Значит, X должна быть такой операцией, чтобы при её многократном применении числа могли расти до 1000 и более. Это подходит под описание операции сложения некоторой константы.

Так как вычитание происходит по 3, то логично, чтобы операция Х увеличивала число хотя бы на 3. Однако, с учетом того, что это должно работать для любого числа, Х должна позволять числу расти выше 1000 после вычитания, чтобы обеспечить замкнутый цикл для любого первичного числа. Следовательно, если Х увеличивает число хотя бы на 4, мы в итоге всегда сможем пересечь порог в 1000, когда число будет меньше или равно 997, так как два увеличения на 4 (2 Х) дадут нам +8, что вместе с вычитанием 3 даст прирост 5, что и нужно для зацикливания.

Итак, операция Х может быть увеличением числа хотя бы на 4. Это действительно приведет к зацикливанию чисел в компьютере, вне зависимости от начального значения.