.

Давай сначала разберемся с тем, что у нас за задача. Нужно найти синус угла между диагональю \( BD_1 \) куба с ребром 3 и плоскостью \( A_1C_1C \).

Сначала найдем длину диагонали \( BD_1 \). Поскольку куб имеет все ребра одинаковой длины, диагональ основания \( BD \) можно найти по теореме Пифагора как \( \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} \). Затем, чтобы найти полную диагональ \( BD_1 \), используем то же самое (ведь \( BD_1 \) является гипотенузой прямоугольного треугольника \( BDD_1 \)), и получаем \( \sqrt{3^2 + \sqrt{18}^2} = \sqrt{3^2 + 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \).

Теперь нам нужно найти проекцию диагонали на плоскость \( A_1C_1C \). Поскольку \( A_1C_1C \) параллельна \( ABCD \), а \( BD_1 \) перпендикулярна \( ABCD \), то проекцией диагонали на \( A_1C_1C \) будет отрезок, соединяющий точку \( B \) с точкой пересечения высоты, опущенной из \( D_1 \) на \( ABCD \), и плоскости \( A_1C_1C \). Эта проекция равна ребру куба, то есть 3.

Теперь мы можем найти синус угла между диагональю и плоскостью, используя определение синуса угла через противолежащий катет и гипотенузу. В нашем случае противолежащим катетом будет ребро 3, а гипотенуза — диагональ \( BD_1 \), длиной \( 3\sqrt{3} \). Таким образом, синус угла равен \( \frac{3}{3\sqrt{3}} \), что упрощается до \( \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Итак, ответ на нашу задачу – синус угла между диагональю \( BD_1 \) и плоскостью \( A_1C_1C \) равен \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), что равно \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) после рационализации знаменателя. Выберем этот ответ на картинке – это третий вариант слева.