Решите неравенство х²-2х-8<0

Для решения неравенства \( x^2 - 2x - 8 < 0 \), нужно найти корни уравнения \( x^2 - 2x - 8 = 0 \) и определить интервалы, на которых неравенство \(\lt0\) будет выполняться.

1. Начнем с нахождения корней квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 8 = 0 \). Для этого используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -2 \), и \( c = -8 \).

Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36 \).

2. Так как дискриминант положителен (\( D > 0 \)), у нас есть два различных вещественных корня: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \) и \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \).

\( x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 \).

Таким образом, корни уравнения \( x^2 - 2x - 8 = 0 \) равны 4 и -2.

3. Теперь построим знаки \( x^2 - 2x - 8 \) на числовой оси, используя найденные корни.

   |------------o-----o-------------o-----------|

-2 4

После выбора тестовой точки в каждом интервале:

• Для интервала \((-∞, -2)\) выберем \(x = -3\): \( (-3)^2 - 2*(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0 \).
• Для интервала \((-2, 4)\) выберем \(x = 0\): \( 0^2 - 2*0 - 8 = -8 < 0 \).
• Для интервала \((4, +∞)\) выберем \( x = 5 \): \( 5^2 - 2*5 - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0 \).

4. Таким образом, неравенство \( x^2 - 2x - 8 < 0 \) выполняется для интервала \((-2, 4)\).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать данное неравенство. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!