один из углов треугольника равен разности двух несмежных с ним внешних углов. Докажите что этот треугольник поямоугольный
Прекрасно, давай разбираться вместе.
Тебе нужно решить задачу номер 13. В ней говорится, что один из углов треугольника равен разности двух несмежных с ним внешних углов. Нужно доказать, что этот треугольник прямоугольный.
Решать будем так:
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов. Это следует из теоремы о сумме углов треугольника, который гласит, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.
Обозначим внутренний угол треугольника, который дан в условии задачи, как α. Два несмежных с α внешних угла будут равны сумме двух оставшихся внутренних углов треугольника. Пусть эти углы будут β и γ.
Таким образом, несмежные внешние углы будут равны β + γ и β + γ (так как оба являются суммой противоположных внутренних углов).
Разность двух равных внешних углов будет равна 0 (β + γ) - (β + γ) = 0.
По условию задачи дано, что внутренний угол α равен этой разности, то есть α = 0. Но угол не может быть равен 0, поэтому можно предположить, что в условии задачи имеется в виду, что α равен разности внутреннего и смежного с ним внешнего углов: α = (β + γ) - β или α = (β + γ) - γ.
В таком случае получается, что α равен другому внутреннему углу треугольника. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, если два угла треугольника равны, следовательно, третий угол является разностью между 180 градусами и двойной величиной одного из равных углов.
Если α = β, то γ = 180° - α - β = 180° - 2α. Чтобы γ был положительным, α должен быть меньше 90°. Но в этом случае, γ будет равен 90° (поскольку 180° - 2 * 45° = 90°).
Поскольку γ равен 90°, треугольник с такими углами является прямоугольным.
Таким образом, если один из углов треугольника равен разности двух несмежных с ним внешних углов, то этот треугольник прямоугольный, что и требовалось доказать.
