решить

Привет! Давай вместе решим этот интеграл. У нас есть интеграл от функции \( \frac{e^{arctg\ x}}{1+x^2} \) dx, и подсказано, что мы можем использовать замену переменной \( arctg\ x = t \).

Чтобы применить эту замену, сначала найдём производную от \( arctg\ x \):

\( \frac{d}{dx} (arctg\ x) = \frac{1}{1+x^2} \)

Теперь выразим dx через dt:

dx = \( (1+x^2) \) dt

Но мы также должны выразить \( x^2 \) через новую переменную t, используя тот же arctg x:

\( x = tg\ t \)

Таким образом,

\( x^2 = tg^2\ t \)

Теперь подставим все эти выражения обратно в интеграл:

\( \int \frac{e^{t}}{1 + tg^2\ t} (1 + tg^2\ t) dt \)

Упростим интеграл:

\( \int e^{t} dt \)

Это стандартный интеграл, решение которого - \( e^t \) + C, где C - это константа интегрирования.

Теперь нам нужно вернуться к переменной x, заменив t обратно через arctg x:

Ответ интеграла будет \( e^{arctg\ x} \) + C.

Вот и все, задача решена! Если что-то непонятно, спрашивай, разберём подробнее.