В треугольнике ABC, O - центр описанной окружности, а точки P и Q выбраны так, что BOAP и COPQ - паралеллограммы. Докажите, что Q - ортоцентр исходного треугольника.

Заметим, что поскольку BOAP и COPQ - параллелограммы, то отрезки AO и CO равны отрезкам BP и PQ соответственно.

Таким образом, мы имеем равенство AO = BP и CO = PQ.

Теперь посмотрим на треугольник ABC. По свойству параллелограмма, BP || AC и PQ || AB.

Из этого следует, что угол ACB равен углу BPQ.

Далее, рассмотрим треугольник AOC. Отрезок AO является диаметром описанной окружности, поэтому угол AOC прямой.

Также, угол BPQ является прямым, так как BP || PQ.

Из прямых углов AOC и BPQ следует, что угол ACB = углу AOQ.

Таким образом, мы получаем, что угол ACB = углу AOQ.

Из этого следует, что точка Q лежит на высоте, проведенной из вершины C, и по определению является ортоцентром исходного треугольника ABC.

Таким образом, мы доказали, что Q - ортоцентр исходного треугольника.