В ответ запишите значение, возведение в квадрат

Давай решим эту задачу вместе. Перед нами стоит задача найти тангенс угла между двумя плоскостями в кубе.

Чтобы решить эту задачу, давай вспомним некоторые свойства куба и основные понятия геометрии:

1. Плоскости граней куба перпендикулярны друг другу, если они соединены ребром.
2. Все ребра куба равны.

Итак, рассмотрим грани \( ABCD \) и \( B_1C_1D_1 \). Так как \( BC \) является общим ребром этих граней, угол между этими плоскостями — прямой. Следовательно, нас интересует нахождение тангенса угла между плоскостью \( ABCD \) и плоскостью, проходящей через точки \( A, A_1, B_1 \).

Для этого нам нужно найти длину отрезка \( AA_1 \), который является высотой куба, и длину отрезка \( A_1B_1 \), которая равна ребру куба, так как угол тангенс угла между плоскостями будет равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Теперь можно записать отношение, зная что куб имеет равные рёбра (пусть длина ребра куба будет \( a \)):

\[ \tan{\alpha} = \frac{A_1B_1}{AA_1} = \frac{a}{a} = 1 \]

Таким образом, тангенс угла между плоскостью \( A_1B_1D_1 \) и плоскостью \( ABCD \) в кубе равен 1.