1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x²- + 4x, y = 0 2. Даны векторы а(2; 4), b(4; 5) и с(1; 2) Найдите длину вектора а в с +2 3-. 3. Найдите значение выражения 6 cos274°+2+cos2164° 4. Конус вписан в шар (см. рисунок). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 39. Найдите объём шара. 5. Площадь основания конуса равна 9л, высота 6. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Давай постепенно решим каждую задачу:
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=-x²+4x и y=0, нужно вычислить определенный интеграл функции y=-x²+4x от 0 до той точки, где функция пересекает ось X (это будет верхняя граница интегрирования). Сначала найдём точки пересечения, решив уравнение: -x² + 4x = 0 x(x - 4) = 0 Отсюда x₁ = 0 и x₂ = 4. Теперь интегрируем функцию от 0 до 4 и получаем площадь.
Векторы а и с дали тебе, так что нужно будет сложить их, а потом умножить на число в скобках: a + c = (2 + 1; 4 + 2) = (3; 6). Теперь умножаем на 2: 2 * (a + c) = 2 * (3; 6) = (6; 12). Теперь длину вектора \( \sqrt{6^2 + 12^2} \).
Считаем значение выражения. Сначала используем соотношение для косинуса: cos(274°) = -cos(86°); cos(164°) = -cos(16°). Косинусы острых углов можно найти в таблице значений или рассчитать, если у тебя есть калькулятор. Итоговое значение будет: -6 * cos(86°) + 2 - cos(16°).
Чтобы найти объем шара (Vшара), используем формулу объема конуса (Vконуса = 1/3 * π * R² * h), где R - радиус основания конуса, а h - высота конуса. Так как объем конуса дан и равен 39 и он вписан в шар, то объем шара будет равен Vшара = 4/3 * π * R³. Нужно выразить высоту конуса через радиус и объем, используя формулу объема конуса, а потом подставить в формулу объема шара и найти соотношение между объемами.
Чтобы найти площадь осевого сечения конуса, нужно использовать теорему Пифагора для нахождения образующей l: l = √(r² + h²), где r - радиус основания конуса, h - высота. Из площади основания конуса S = πr² мы можем выразить радиус как r = √(S/π) = √(9/π). Теперь все известно для нахождения l, а площадь осевого сечения конуса будет: S_осевое = 1/2 * окружность основания * образующая = 1/2 * 2 * π * r * l. Just substitute r and l (после нахождения его через Пифагора) и вычисли площадь.
