Найти значение выражения

Понял задачу, давай разбираться. Нам нужно найти значение выражения \(-20\cos(\alpha + \frac{5\pi}{2})\), при условии что \(\cos\alpha = \frac{7}{25}\) и \(\alpha\) находится в интервале \((1,5\pi;2\pi)\).

Для начала важно понять свойства функции косинуса. Косинус — это периодическая функция с периодом \(2\pi\), и сдвиг на \(\frac{5\pi}{2}\) эквивалентен сдвигу на \(\frac{\pi}{2}\), так как \(\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}\).

Когда мы сдвигаем аргумент косинуса на \(\frac{\pi}{2}\), это преобразуется в функцию синуса со знаком минус: \(\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin\alpha\)

То есть, исходное выражение превращается в: \(-20\cos(\alpha + \frac{5\pi}{2}) = -20(-\sin\alpha) = 20\sin\alpha\)

Теперь нам нужно вычислить \(\sin\alpha\). Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)

Отсюда находим \(\sin\alpha\): \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625}{625} - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}\)

Возьмем корень и получим \(\sin\alpha\). Однако, так как \(\alpha\) в интервале \((1,5\pi;2\pi)\), то есть в четвертом квадранте, где синус отрицательный, мы должны выбрать отрицательное значение корня: \(\sin\alpha = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25}\)

Теперь подставим наше значение синуса в исходное уравнение: \(20\sin\alpha = 20 \cdot \left(-\frac{24}{25}\right) = -\frac{480}{25} = -19.2\)

Итак, значение выражения \(-20\cos(\alpha + \frac{5\pi}{2}) = -19.2\).