Знайдіть критичні точки функції

Хорошо, давайте найдем критические точки функций, указанных в задании 21.13 и 21.14. Критические точки функции - это точки, в которых либо производная функции равна нулю, либо производная не существует. Для начала найдем производные данных функций.

Для функции 1) \( f(x) = 2\sin x + x \) из 21.13, производная будет: \( f'(x) = 2\cos x + 1 \). Теперь нужно решить уравнение \( f'(x) = 0 \) для нахождения критических точек. Так как \( 2\cos x + 1 \) никогда не равно нулю (так как косинус может быть между -1 и 1, а значит \( 2\cos x \) между -2 и 2, и при добавлении 1 не достигает нуля), у функции \( f(x) = 2\sin x + x \) нет критических точек.

Для функции 2) \( g(x) = \frac{3-x^2}{x-2} \) из 21.14, сначала нужно исключить точку \( x = 2 \) из рассмотрения, так как в этой точке знаменатель обращается в ноль и функция не определена. Распишем функцию как \( g(x) = \frac{-x^2 + 3}{x-2} \) для удобства дифференцирования. Чтобы найти производную сложной функции вида \( \frac{u(x)}{v(x)} \), используем правило дифференцирования частного: \( (u/v)' = (u'v - uv')/v^2 \). Найдем производную: \( u(x) = -x^2 + 3 \), \( u'(x) = -2x \), \( v(x) = x - 2 \), \( v'(x) = 1 \). Теперь применим правило: \( g'(x) = \frac{-2x(x - 2) - (-x^2 + 3)(1)}{(x - 2)^2} \).

Далее нужно упростить выражение производной и найти критические точки, приравняв её к нулю и решив полученное уравнение. Не забываем, что \( x = 2 \) - исключительная точка и её необходимо рассмотреть отдельно в контексте определения критических точек.

Теперь тебе предстоит проделать эти шаги: упростить выражение производной, найти критические точки для функции \( g(x) \), а затем проверить, не является ли \( x = 2 \) точкой, которая может быть критической на практике (несмотря на то что функция не определена в этой точке и производная там не существует).