Реши
На картинке у нас задача по геометрии. Видим, что нам нужно найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, зная, что она делит гипотенузу на отрезки 3 см и 10 см, и что периметр треугольника равен 30 см.
Дано:
- Прямоугольный треугольник
- Отрезки, на которые делится гипотенуза: 3 см и 10 см
- Периметр треугольника: 30 см
Чтобы найти радиус вписанной окружности (обозначим его R), воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник: \( R = \frac{a + b - c}{2} \), где a и b — катеты треугольника, а c — гипотенуза.
Сначала найдем длину катетов. Так как периметр (P) равен 30 см, и гипотенуза (c) делится на отрезки 3 см и 10 см, то есть равна 13 см, то сумма катетов а и b будет: \( a + b = P - c = 30 см - 13 см = 17 см \).
Теперь надо использовать то, что площадь треугольника есть произведение катетов, делённое на 2, и равна сумме произведений радиуса вписанной окружности на каждую из сторон (так как радиус вписанной окружности умноженный на периметр треугольника равен площади треугольника).
Ставим уравнение на основе этого соотношения: \( ab/2 = r(a + b + c)/2 \).
Отсюда, заменив сумму катетов на 17 см и периметр на 30 см, получаем: \( ab = r(30) \).
Но, чтобы найти r, нам нужно знать произведение катетов ab. Как его найти? Мы знаем, что площадь треугольника также можно найти как половину произведения гипотенузы на высоту, опущенную на гипотенузу. Из условия задачи, высота, опущенная на гипотенузу, это наш искомый радиус окружности! То есть площадь треугольника также равна \( \frac{13cm * r}{2} \).
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( ab = r(30) \)
- \( \frac{13cm * r}{2} = \frac{ab}{2} \).
Из уравнения (2) мы легко выразим ab: \( ab = 13cm * r \). Теперь подставим это значение в уравнение (1): \( 13cm * r = r(30) \).
Отсюда: \( 13 = 30 \), \( r = \frac{13}{30} \).
Рассчитываем: \( r = \frac{13}{30} \approx 0,43 см \).
Итак, радиус вписанной окружности примерно 0,43 см.
