1

Привет! Давай разберемся с этим уравнением по шагам.

а) Нам нужно дополнить уравнение \(2x^2 + x - \square = 0\) так, чтобы множество решений было пустым. Это означает, что уравнение не должно иметь корней. Для этого значение в ячейке должно быть таким, чтобы дискриминант квадратного уравнения получился отрицательным.

Дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле \( D = b^2 - 4ac \). Нам нужно, чтобы он был меньше 0.

В нашем случае \(a = 2\), \(b = 1\), поэтому нам нужно найти такое \(c\), при котором \( D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot c < 0 \). То есть \( 1 - 8c < 0 \).

Решая это неравенство, получим \( c > \frac{1}{8} \). Так что можно выбрать любое число больше \( \frac{1}{8} \), например, \( c = \frac{1}{4} \) или любое другое число, чтобы выполнялось это условие.

б) Теперь давай решим уравнение \(2x^2 + x - 1 = 0\) на множестве действительных чисел \( \mathbb{R} \). Чтобы отыскать корни, снова используем формулу дискриминанта \( D \). С учетом того, что \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -1\), получаем:

\( D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \).

Так как \( D > 0 \), у уравнения будет два различных корня:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \),

\( x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} \),

\( x_{1,2} = \frac{-1 \pm 3}{4} \),

Отсюда \( x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) и \( x_2 = \frac{-4}{4} = -1 \).

в) Упростим выражение:

\( E(x) = \frac{2x^2 + x - 1}{x^2 - 1} \).

Заметь, что знаменатель это разность квадратов и может быть представлен как:

\( x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) \),

Теперь нужно попытаться разложить числитель так, чтобы один из множителей сократился со знаменателем. Числитель уже является квадратным уравнением, которое мы решали в предыдущем пункте, и мы знаем его корни. Следовательно, его можно разложить на множители:

\( 2x^2 + x - 1 = 2x^2 + 2x - x - 1 = 2x(x + 1) - (x + 1) = (2x - 1)(x + 1) \).

Теперь наше выражение выглядит так:

\( E(x) = \frac{(2x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} \).

Мы видим, что множитель \( x + 1 \) сокращается:

\( E(x) = \frac{2x - 1}{x - 1} \).

Вот и всё! Если что-то еще непонятно – спрашивай, обсудим.