Подставь верные ответы
Понял, посмотрим вместе на функцию \(y = 7x^2 - x^3\).
Область определения функции \(D(f)\) - это множество всех значений \(x\), которые можно подставить в функцию. Поскольку функция полиномиальная, она определена для всех действительных чисел. То есть, \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, нужно проверить, изменится ли функция, если мы заменим \(x\) на \(-x\). Для данной функции, если подставить \(-x\), получим \(y = 7(-x)^2 - (-x)^3 = 7x^2 - x^3\), что совпадает с исходной функцией, значит функция нечетная.
Чтобы найти первую производную, возьмем производные от каждого слагаемого: \(y' = (7x^2)' - (x^3)'\). Производная от \(x^2\) равна \(2x\), а производная от \(x^3\) равна \(3x^2\), по правилу производной степенной функции. Получаем: \(y' = 14x - 3x^2\).
Стационарные точки находим из условия \(y' = 0\), подставим и решим уравнение: \[14x - 3x^2 = 0\] \[x(14 - 3x) = 0\] Отсюда \(x_1 = 0\) и \(x_2 = \frac{14}{3}\).
Чтобы найти точки экстремума, нужно рассмотреть знаки первой производной вокруг найденных стационарных точек.
Производная положительна, следовательно функция возрастает, когда \(y'\) больше нуля, то есть \(x \in (-\infty; 0)\) и \(x \in (\frac{14}{3}; +\infty)\), и убывает, когда производная отрицательна, то есть \(x \in (0; \frac{14}{3})\).
Точки пересечения с осями координат находим, подставляя \(x = 0\) для оси \(y\) и \(y = 0\) для оси \(x\). Для оси \(y\): \(y(0) = 7*0^2 - 0^3 = 0\), значит \(y\) пересекается с осью \(y\) в точке \(y_1 = 0\). Для оси \(x\): используем уравнение \(y = 0\), \(7x^2 - x^3 = 0\), \(x^2(7 - x) = 0\), отсюда получаем точки \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 7\).
Вторую производную найдем для определения выпуклости и вогнутости функции: \[y'' = (14x - 3x^2)'\] \[y'' = 14 - 6x\].
Координаты точек перегиба можно определить, решив уравнение \(y'' = 0\): \[14 - 6x = 0\] \[x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}\]. Подставим \(x\) в исходную функцию, чтобы найти \(y\): \[y = 7\left(\frac{7}{3}\right)^2 - \left(\frac{7}{3}\right)^3\] \[y = 7\cdot\frac{49}{9} - \frac{343}{27}\] \[y = \frac{343}{9} - \frac{343}{27}\] \[y = \frac{1029 - 343}{27}\] \[y = \frac{686}{27}\].
Таким образом, координата точек перегиба на графике функции \((\frac{7}{3}; \frac{686}{27})\).
