Ответ
Посмотрим на задачу вместе. У нас есть окружность с центром в точке \( O \), из точки \( M \), которая находится вне окружности, проведена секущая \( MB \) и касательная \( MC \). Секущая и касательная пересекаются в точке \( B \). Также дано, что отрезок \( OD \) перпендикулярен секущей \( MB \) и равен 6 см, \( MB \) равно 25 см, \( MC \) равно 15 см. Нужно найти радиус окружности.
Всегда помним теорему Пифагора для прямоугольных треугольников \( a^2 + b^2 = c^2 \), а также теорему о касательной и секущей: \( MC^2 = MD \cdot MB \).
В нашем случае, \( MD \) это длина отрезка \( MO - OD \). Поскольку \( MB = MO + OB \) и \( OB = OC \) (так как оба являются радиусами окружности), мы можем подставить это в уравнение теоремы о касательной и секущей.
Нам уже известно, что \( MC = 15 \), \( MB = 25 \) и, так как \( OD \) перпендикулярен секущей, \( OD \) это радиус. Но чтобы использовать теорему о касательной и секущей, нам нужно найти \( MD \), которое будет равно \( MO - OD = MO - r \) (где \( r \) - радиус окружности).
Теперь посмотрим на теорему: \( MC^2 = MD \cdot MB \) или \( 15^2 = (MO - r) \cdot 25 \).
Так как \( OD \) перпендикулярен \( MB \), треугольник \( ODM \) является прямоугольным треугольником. Используем теорему Пифагора: \( OD^2 + DM^2 = OM^2 \) или \( 6^2 + (25 - r)^2 = OM^2 \).
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( 15^2 = (OM - r) \cdot 25 \)
- \( 36 + (25 - r)^2 = OM^2 \).
Из первого уравнения найдём \( OM \): \( 225 = 25 \cdot OM - 25r \) \( 25 \cdot OM = 225 + 25r \) \( OM = 9 + r \).
Теперь подставим это во второе уравнение: \( 36 + (25 - r)^2 = (9 + r)^2 \), \( 36 + 625 - 50r + r^2 = 81 + 18r + r^2 \), \( 625 + 36 = 81 + 18r + 50r \), \( 661 - 81 = 68r \), \( r = \frac{580}{68} \), \( r = \frac{290}{34} \), \( r = \frac{145}{17} \), \( r = 8.53 \) (приблизительно).
Радиус окружности \( r \) нужно округлить до целого числа, т.к. в ответе требуется целое число, то получаем \( r = 9 \) см.
Ответ: радиус равен 9 см.
