Нам дана правильная шестиугольная призма. Сторона основания призмы равна 3 см, а наибольшая диагональ призмы – 10 см. Мы должны найти высоту призмы и её объём.

Чтобы найти высоту правильной шестиугольной призмы, можно воспользоваться формулой для расчета высоты призмы, основанной на стороне основания и наибольшей диагонали.

Высота \( h \) правильной шестиугольной призмы может быть найдена по формуле: \[ h = \sqrt{3} \times \frac{d_{max}}{2} \]

Где \( d_{max} \) – наибольшая диагональ призмы.

Таким образом, подставляя известные значения (сторона основания = 3 см, наибольшая диагональ = 10 см) в формулу, можно рассчитать высоту призмы: \[ h = \sqrt{3} \times \frac{10}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см} \]

Теперь, чтобы найти объем правильной шестиугольной призмы, можно воспользоваться формулой для расчета объема призмы: \[ V = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times a^2 \times h \]

Где \( a \) – длина стороны правильного шестиугольника, а \( h \) – высота призмы.

Подставляя известные значения (сторона основания = 3 см, высота = \( 5\sqrt{3} \) см) вычислим объем призмы: \[ V = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 3^2 \times 5\sqrt{3} = \frac{27\sqrt{3}}{2} \times 5\sqrt{3} = \frac{135}{2} \times 3 = 202,5 \text{ см}^3 \]

Таким образом, высота призмы составляет \( 5\sqrt{3} \) см, а ее объем равен 202,5 см³.