решить и вычислить

Привет! Давай разберемся с этой задачей по математике вместе.

Нам дана функция \( f(x) = 5\cos^2x \) и нужно найти вторую производную \( f''(x) \) в точке \( x = \frac{\pi}{3} \).

1. Сначала найдем первую производную \( f'(x) \). Мы знаем, что производная \( \cos(x) \) равна \( -\sin(x) \). По правилу дифференцирования степенной функции получаем \( f'(x) = 2 \cdot 5\cos(x) \cdot (-\sin(x)) = -10\cos(x)\sin(x) \).

2. Теперь найдем вторую производную \( f''(x) \): \[ f''(x) = -10(\cos'(x)\sin(x) + \cos(x)\sin'(x)) = -10(-\sin(x)\sin(x) + \cos(x)\cos(x)). \]

3. Упростим выражение для второй производной: \[ f''(x) = -10(-\sin^2x + \cos^2x). \]

4. Заметим, что у нас получилась разность квадратов синуса и косинуса. Используем формулу \( \cos^2x - \sin^2x = \cos(2x) \), тогда: \[ f''(x) = -10(-\sin^2x + \cos^2x) = -10\cos(2x). \]

5. Теперь вычислим значение второй производной в точке \( x = \frac{\pi}{3} \): \[ f''\left(\frac{\pi}{3}\right) = -10\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{3}\right) = -10\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right). \]

6. Косинус \( \frac{2\pi}{3} \) равен \( -\frac{1}{2} \) (здесь учитываем, что это вторая четверть единичного круга), тогда: \[ f''\left(\frac{\pi}{3}\right) = -10 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 5. \]

Ответ: вторая производная функции \( f \) в точке \( \frac{\pi}{3} \) равна 5. Выбираем вариант с числом 5.