Отрезки BM и CN — высоты треугольника ABC. Докажите, что точки B, N, M и C лежат на одной окружности. Где расположен ее центр? Сделайте к задаче два чертежа: один для случая остроугольного треугольника, а второй — для тупоугольного с тупым углом при вершине A.

Для доказательства того, что точки B, N, M и C лежат на одной окружности, мы воспользуемся свойством перпендикуляров в треугольнике. Заметим, что треугольник BNC прямоугольный, так как BM и CN являются высотами, и они перпендикулярны к основанию BC.

Пусть O — это центр окружности, проходящей через точки B, N, M и C. Тогда по свойству этой окружности каждый из углов около точек B, N, M и C является прямым углом.

Чертеж для случая остроугольного треугольника ABC:

        B
       / \
      /   \
     /  O  \
    M-------C
      \   /
       \ /
        N

Чертеж для случая тупоугольного треугольника ABC:

     M-------N
    /         \
   /    O      \
  B-------------C

Таким образом, центр окружности O будет находиться на пересечении перпендикуляров, проведенных через середины сторон BC и BN.

Докажем это: Пусть P — середина стороны BC, Q — середина стороны BN. Тогда из свойств треугольника следует, что PQ параллельна стороне BN, а BP параллельна стороне NC. Поскольку BN и NC — перпендикуляры, то BP и PQ — перпендикуляры. Это значит, что O должна лежать на пересечении BP и PQ.

Таким образом, мы доказали, что точки B, N, M и C лежат на одной окружности, и ее центр O можно найти на пересечении перпендикуляров, проведенных через середины сторон BC и BN.