Отрезки BM и CN — высоты треугольника ABC. Докажите, что точки B, N, M и C лежат на одной окружности. Где расположен ее центр? Сделайте к задаче два чертежа, рассмотрев два случая: один для случая остроугольного треугольника, а второй — для тупоугольного с тупым углом при вершине A.

Докажем, что точки B, N, M и C лежат на одной окружности.

Воспользуемся свойством высот треугольника: высота, проведенная из вершины на основание, является перпендикуляром к этому основанию.

Рассмотрим случай остроугольного треугольника ABC:

В данном случае, поскольку треугольник является остроугольным, высоты BM и CN пересекаются внутри треугольника ABC, в точке H. Точка H, в свою очередь, является ортоцентром треугольника ABC — точкой пересечения трех высот данного треугольника.

Таким образом, точка H лежит на отрезках BM и CN, следовательно, точка H также лежит на окружности, проходящей через точки B, N, M и C.

Центр окружности можно найти как точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Для этого проведем серединные перпендикуляры к отрезкам BM и CN.

Теперь рассмотрим случай тупоугольного треугольника ABC:

В данном случае, поскольку треугольник является тупоугольным, высоты BM и CN пересекаются за пределами треугольника ABC, продолжаясь вне его. Точка пересечения данных высот не может быть ортоцентром, так как она не принадлежит данному треугольнику.

Тем не менее, точки B, N, M и C все еще лежат на одной окружности. Центр этой окружности будет расположен на продолжении общей высоты BM и CN за пределами треугольника ABC.

Для каждого из случаев, приведем соответствующие чертежи:

Случай остроугольного треугольника ABC:

       A

      / \
     /   \
    /     \
   /       \
  B───────N
   \       /\
    \ H   /  \
     \   /    \
      \ /______\
       M        C

Случай тупоугольного треугольника ABC:

       A

      / \
     /   \
    /     \
   /       \
  B        N
 |\       /\
 | \     /  \
 |  \   /    \
 |   \ /______\
 |    M       C
 |
 |
 H