В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Докажите, что прямая BD касается окружности с центром С и радиусом, равным AD.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD. Чтобы доказать, что прямая BD касается окружности с центром C и радиусом, равным AD, рассмотрим следующее:

Поскольку треугольник ABC - равнобедренный, то у него две равные стороны - AB и AC. Следовательно, углы при основании также равны. Значит, угол ABC = угол ACB.

Теперь обратим внимание на треугольники ABD и ACD. Мы знаем, что AD - медиана, следовательно, точка D делит основание AC пополам. Таким образом, AD = DC.

Теперь, рассмотрим треугольники ACD и BDC. У них две равные стороны - AD и DC, и углы ACB и ABC равны. Следовательно, по стороне-углу-стороне треугольников они подобны.

Из подобия треугольников следует, что углы ACD и BDC равны, что означает, что прямая BD касается окружности с центром C и радиусом, равным AD.

Таким образом, доказано, что утверждение верно.