Демоверсия 2025 - Профильная математика

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $a\to =(25;0)и$$b\to =(1;-5).$ Найдите длину вектора $a\to -4b\to .$

Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

В группе туристов 20 человек. С помощью жребия они выбирают 7 человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Найдите значение выражения 

$$\frac{\log_9{28}}{\log_9{7}} + \log_7{\frac{7}{4}}$$

На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой ${\mathrm{f}}_0=295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $\mathrm{f}$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $\mathrm{f}\left(\mathrm{v}\right)=\frac{{\mathrm{f}}_0}{1-\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{c}}}\text{ (Гц)},$ где $\mathrm{c}$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $\mathrm{c}=300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Смешав 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси?

На рисунке изображены графики функций видов и пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Найдите точку максимума функции

a) Решите уравнение $$2{\sin }^{3}x=\sqrt{2}{\cos }^{2}x+2\sin x\mathrm{.}$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1$, $KC = 3$.

Решите неравенство$$\frac{{\log }_2(2-x)-{\log }_2(x+1)}{{\log }_2^2{x}^2+{\log }_2{x}^4+1}\ge 0.$$

В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года ($r$ — целое число);
• с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
• в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
• в июле 2031 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
• в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
• к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите $r$.

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3$, $BC = DE = 4$.

а) Докажите, что $AC = CE$.

б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD = 6$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} (x^2 - 5x - y + 3) \cdot \sqrt{x - y + 3} = 0, \\ y = 3x + a \end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

Из пары натуральных чисел $(a; b)$, где $a > b$, за один ход получают пару $(a + b; a - b)$.

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару, большее число в которой равно 400?

б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$пару $(806; 788)$?

в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a; b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(806; 788)$?