1 вариант - Профильная математика

Средняя линия трапеции равна 24. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 2:3. Найдите большее основание трапеции.

Даны векторы $\overrightarrow{\mathrm{а}}(16;-0,4)$ и $\overrightarrow{\mathrm{b}}(2;5)$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{\mathrm{a}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}$.

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объем конуса равен 48. Найдите объем цилиндра.

Термометр измеряет температуру в помещении. Вероятность того, что температура окажется ниже $+18^\circ \text{C}$, равна $0,27$. Вероятность того, что температура окажется выше $+21^\circ \text{C}$, равна $0,36$. Найдите вероятность того, что температура в помещении окажется в промежутке от $+18^\circ \text{C}$ до $+21^\circ \text{C}$.

Стрелок стреляет по трём мишеням. Вероятность попадания в мишень первым выстрелом равна 0,5. Если стрелок промахнулся, он может выстрелить по мишени второй раз. Вероятность попадания в мишень вторым выстрелом равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок поразит ровно одну мишень из трёх.

Найдите корень уравнения ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{1-3\mathrm{x}}=2^{\mathrm{x}+2}\mathrm{.}$

Найдите значение выражения $$\log_{2,5} 4 - \log_{2,5} 10.$$

На рисунке изображён график $y=f\prime \left(x\right)$ — производной функции $f\left(x\right)$, определённой на интервале $(-22;2)$. Найдите количество точек минимума функции $f\left(x\right)$, принадлежащих отрезку$[-18;1]$.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $\mathrm{a}$ км/ч². Скорость $v$ вычисляется по формуле $\mathrm{v}=\sqrt{2\mathrm{la}}$, где $\mathrm{l}$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,9 километра, приобрести скорость 150 км/ч. Ответ дайте в км/ч².

Расстояние между пристанями A и B равно 160 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 38 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}+\mathrm{a}}\mathrm{.}$Найдите значение $x$, при котором $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=20$.

Найдите точку минимума функции $\mathrm{y}=(\mathrm{x}+13{)}^2{\mathrm{e}}^{6-\mathrm{x}}\mathrm{.}$

а) Решите уравнение ${\sin }^4\frac{\mathrm{x}}{4}-{\cos }^4\frac{\mathrm{x}}{4}=\cos (\mathrm{x}-\frac{3\mathrm{\pi }}{2})\mathrm{.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\mathrm{\pi };-\mathrm{\pi }]$.

В правильной треугольной пирамиде $\mathrm{SABC}$ с основанием $\mathrm{ABC}$ точки $\mathrm{D}$ и $\mathrm{E}$ делят соответственно рёбра $\mathrm{AC}$ и $\mathrm{SB}$ так, что $\mathrm{AD}:\mathrm{DC}=\mathrm{SE}:\mathrm{EB}=1:2$. На продолжении ребра $\mathrm{SC}$ за точку $\mathrm{S}$ отмечена точка $\mathrm{O}$. Прямые $\mathrm{OD}$ и $\mathrm{OE}$ пересекают рёбра $\mathrm{AS}$ и $BC$ в точках $\mathrm{P}$ и $\mathrm{F}$ соответственно, причём $\mathrm{BF}=\mathrm{FC}$.

a) Докажите, что отрезки $\mathrm{DE}$ и $\mathrm{PF}$ пересекаются.
б) Найдите отношение $\mathrm{AP}:\mathrm{PS}.$

Решите неравенство: $16\cdot 5^{1-\frac{8}{\mathrm{x}}}-189\cdot {20}^{-\frac{4}{\mathrm{x}}}+25\cdot 2^{-\frac{16}{\mathrm{x}}}\le 0.$

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 312 500 рублей.

Какую сумму (в рублях) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?

Окружность с центром в точке $O$ вписана в ромб $ABCD$ и касается его сторон $AB$, $CD$ и $AD$ соответственно в точках $F$, $K$ и $P$.

a) Докажите, что прямая $FP$ параллельна диагонали ромба $BD$.
б) Найдите длину диагонали $BD$, если известно, что $FP=12$ и $PK=5$.

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), соли выпадает четное число очков, и влево (отрицательное направление прямов, если выпалает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.
а) Может ли фишка оказаться на отметке «–50», если Митя 30 раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «–50»?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечетное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «–55», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпалала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз.