Реальный вариант 2021 (основная волна, Урал) - Профильная математика

Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 61°. Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали  — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с положительной среднемесячной температурой.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Найдите корень уравнения: $5^{\mathrm{x}-7}=\frac{1}{125}.$

Найдите значение выражения $\frac{24\left({\sin }^2\left(17°\right)-{\cos }^2\left(17°\right)\right)}{\cos \left(34°\right)}.$

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

Найдите точку максимума функции

Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB  =  16, высота SH  =  10, точка K  — середина AS. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.

а)  Докажите, что площадь PQBС относится к площади как 3 : 4.

б)  Найдите объем пирамиды KBQPC.

Решите неравенство:

В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно r, если общая сумма выплат составит 930 тысяч рублей?

Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN  =  CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD  =  AM.

а)  Докажите, что BM  =  BN.

б)  Найдите MN, если AC  =  4,

Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.

а)  Может ли выполняться равенство A · S  =  28000?

б)  Может ли выполняться равенство A · S  =  2971?

в)  Найдите наибольшее произведение A · S < 5997.