Демоверсия ЕГЭ 2021 - Профильная математика, вариант №68, задания КИМ

№1 по КИМ

Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма.

Ответ

Решения от учеников

№121 по КИМ

Весь первый этаж 16-этажного дома занимают магазины, а на каждом из остальных этажей любого его подъезда расположено по 4 квартиры. На каком этаже этого дома находится квартира 165?

Ответ

Решения от учеников

№221 по КИМ

Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя: чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и тем быстрее вращается мотор отопителя. На графике показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На горизонтальной оси отмечено сопротивление в омах, на вертикальной оси  — сила тока в амперах. Определите по графику, на сколько омов увеличилось сопротивление в цепи при уменьшении силы тока с 12 ампер до 4 ампер.

Ответ

Решения от учеников

№3 по КИМ

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в $2$ раза больше первого? Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ

Решения от учеников

№319 по КИМ

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ

Решения от учеников

№4 по КИМ

Стрелок при каждом выстреле поражает мишень с вероятностью 0,3, независимо от результатов предыдущих выстрелов. Какова вероятность того, что он поразит мишень, сделав не более 3 выстрелов?

Ответ

Решения от учеников

№6 по КИМ

Решите уравнение: $\sqrt{3 + 2 x} = x .$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Ответ

Решения от учеников

№7 по КИМ

Найдите значение выражения: $4^{\frac{1}{5}} \cdot 16^{\frac{9}{10}} .$

Ответ

Решения от учеников

№8 по КИМ

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y  =  f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂, ..., x₉. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y  =  f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

Ответ

Решения от учеников

№9 по КИМ

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $749 МГц$ . Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $v = c \cdot \frac{f - f_{0}}{f + f_{0}},$ где $c = 1500$ м/с  — скорость звука в воде, $f_{0}$   — частота испускаемых импульсов, $f$   — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в $МГц$ ). Определите частоту отражённого сигнала в $МГц$ , если скорость погружения батискафа равна $2 м/с$ .

Ответ

Решения от учеников

№10 по КИМ

Автомобиль, движущийся с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе, обгоняет другой автомобиль, движущийся в ту же сторону с постоянной скоростью 40 км/ч. Каким будет расстояние (в километрах) между этими автомобилями через 15 минут после обгона?

Ответ

Решения от учеников

№12 по КИМ

Найдите точку максимума функции $y= левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка косинус x минус 2 синус x плюс 2$ принадлежащую промежутку $левая круглая скобка 0; 2 Пи правая круглая скобка .$

Ответ

Решения от учеников

№13 по КИМ

а)  Решите уравнение: $2 синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс косинус 2x = корень из 3 косинус x плюс 1.$

б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи }; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Ответ

Решения от учеников

№14 по КИМ

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA₁ и A₁C₁ соответственно.

а)  Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б)  Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁.

Ответ

Решения от учеников

№15 по КИМ

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате плюс 7 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: x плюс 5 конец дроби плюс 7 правая круглая скобка .$

Ответ

Решения от учеников

№16 по КИМ

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r  — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг(в млн рублей)	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Ответ

Решения от учеников

№17 по КИМ

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй  — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а)  Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Ответ

Решения от учеников

№18 по КИМ

Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система

$система выражений левая круглая скобка |x| минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка в квадрате =9, левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате =a в квадрате конец системы .$

имеет единственное решение.

Ответ

Решения от учеников

№19 по КИМ

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а)  Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б)  Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в)  Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Ответ

Решения от учеников