Тренажёр ЕГЭ Профильная математика

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM = 5R и CM = 1,5R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 4.

Через концы $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ дуги окружности в $62°$ проведены касательные $\mathrm{AC}$ и $\mathrm{BC}$. Найдите угол $\mathrm{ACB}$. Ответ дайте в градусах.

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)=a \cos (b\pi x+c)+d,$ где числа a, b, c и d — целые. Найдите $f\left(\frac{100}{3}\right).$

В кармане у Саши было пять конфет — «Осенний вальс», «Буратино», «Барбарис», «Гулливер»  и «Метеорит», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Саша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Барбарис».

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

В треугольнике$\mathrm{АВС}, \angle \mathrm{В}=81°, \angle \mathrm{С}=25°.$ Найдите внутренний угол при вершине $\mathrm{А}.$ Ответ дайте в градусах.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 12 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 24 км/ч больше скорости другого?

В процессе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону: $\mathrm{m}\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{m}}_0\cdot 2^{-\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{T}}},$ где ${\mathrm{m}}_0$ — начальная масса изотопа, $\mathrm{t}$(мин) — время, прошедшее с начального момента, а $\mathrm{T}$ — период полураспада (мин).

В лаборатории получили вещество с начальной массой ${\mathrm{m}}_0=40\text{\hspace{0.17em}мг}$ изотопа $\mathrm{Z}$, у которого период полураспада $\mathrm{T}=10\text{\hspace{0.17em}мин}$. Нужно определить, в течение какого времени масса изотопа будет не менее $5 \, \text{мг}$.

Найдите значение выражения $\frac{{\cos }^2(13°)+13+ {\cos }^2(77°)}{4}.$