В нижнем основании цилиндра проведена хорда, длина которой равна . Эта хорда видна из центра нижнего основания под углом В, а отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой проведённой хорды, образует с плоскостью основания угол в. Найдите объём цилиндра Реши задачу развернуто с чертежем

Для решения данной задачи давайте сначала создадим схематический чертеж и определим основные параметры цилиндра. ### Шаг 1: Определение параметров 1. **Даны параметры:** - Длина хорды \( AB = L \) - Угол, под которым видна хорда из центра основания \( O \) — обозначим его \( \alpha \) - Угол между отрезком, соединяющим центр верхнего основания с серединой хорды, и плоскостью основания — обозначим его \( \beta \) ### Шаг 2: Построение чертежа На чертеже изобразим цилиндр с нижним основанием (кругом), хордой \( AB \), центром нижнего основания \( O \) и центром верхнего основания \( O' \). 1. Обозначим: - Радиус нижнего основания цилиндра \( R \). - Высоту цилиндра \( h \). - Середину хорды \( M \). 2. На чертеже цилиндр с хордой будет выглядеть примерно так: ``` O' ↑ h /|\ | / | \ | / | \ | / | \ | / | \ | / | \ | O-------M-----A---B------- R ``` ### Шаг 3: Нахождение радиуса Зная угол \( \alpha \) между радиусом и хордой, можно провести следующие вычисления. Из центра круга \( O \) проведем радиусы к концам хорды \( A \) и \( B \). 1. По определению угла мы имеем: \[ \cos(\alpha) = \frac{MO}{AO} = \frac{d}{R} \] где \( d \) — расстояние от центра до середины хорды \( M \). 2. Используя свойства прямоугольного треугольника, можно также выразить \( R \): \[ d = \frac{L}{2} \sin(\alpha) \] Подставим значение \( d \): \[ R = \frac{L}{2 \cos(\alpha)} \] ### Шаг 4: Нахождение высоты цилиндра Известно, что отрезок \( OO' \) образует угол \( \beta \) с плоскостью основания. Используя треугольник \( O'MO \): \[ \tan(\beta) = \frac{h}{d} \] Перепишем его для нахождения высоты цилиндра: \[ h = d \tan(\beta) = \frac{L}{2 \cos(\alpha)} \tan(\beta) \] ### Шаг 5: Объём цилиндра Объём \( V \) цилиндра вычисляется по формуле: \[ V = S \cdot h \] где \( S \) — площадь основания цилиндра: \[ S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{L}{2 \cos(\alpha)}\right)^2 = \frac{\pi L^2}{4 \cos^2(\alpha)} \] Подставим выражение для \( S \) и \( h \): \[ V = \frac{\pi L^2}{4 \cos^2(\alpha)} \cdot \left(\frac{L}{2 \cos(\alpha)} \tan(\beta)\right) \] ### Шаг 6: Упрощение выражения для объёма \[ V = \frac{\pi L^3 \tan(\beta)}{8 \cos^3(\alpha)} \] ### Ответ Объём цилиндра равен: \[ V = \frac{\pi L^3 \tan(\beta)}{8 \cos^3(\alpha)} \] Эта формула выражает объём цилиндра через длину хорды, углы \( \alpha \) и \( \beta \).