реши А1. с решением и А2 с решением
Давай посмотрим на задания и попробуем их решить.
А1. Найти значение производной функции \( y = e^{x} \sin x + x^2 \) в точке \( x_0 = 0 \).
Производная \( y' \) этой функции - это сумма производных каждого слагаемого. Используем правило производной произведения для первого слагаемого и правило производной степенной функции для второго:
Для \( e^x \sin x \) правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = e^x \) и \( v = \sin x \). Производная \( u' = e^x \), а производная \( v' = \cos x \). Итак, производная первого слагаемого будет \( e^x \cos x + e^x \sin x \).
Для \( x^2 \) производная по правилу производной степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \) будет \( 2x \).
Теперь сложим полученные производные:
\( y' = e^x \cos x + e^x \sin x + 2x \).
Найдем значение производной в точке \( x_0 = 0 \):
\( y'(0) = e^0 \cos 0 + e^0 \sin 0 + 2 \cdot 0 \) = 1 + 0 + 0 = 1.
Таким образом, производная функции в точке \( x_0 = 0 \) равна 1.
А2. Найти значение производной функции \( y = \frac{x}{8} - \frac{1}{4} \ln x \) в точке \( x_0 = 2 \).
Производная данной функции находится по правилу производной дроби и логарифма:
Производная от \( \frac{x}{8} \) равна \( \frac{1}{8} \).
Производная от \( -\frac{1}{4} \ln x \) равна \( -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} \).
Следовательно, \( y' = \frac{1}{8} - \frac{1}{4x} \).
Теперь найдем значение этой производной в точке \( x_0 = 2 \):
\( y'(2) = \frac{1}{8} - \frac{1}{4 \cdot 2} \) = \( \frac{1}{8} - \frac{1}{8} \) = 0.
Значение производной в точке \( x_0 = 2 \) равно 0.
Если нужно решить остальные задания (А3, А4, А6), дай знать, и я помогу!
