Задание 16, 52

Давай разберёмся вместе с заданием 16. На рисунке изображена окружность с центром в точке O, вписанная в прямоугольный треугольник NBM. Нам нужно найти отрезок OK, где K - это точка касания окружности со стороной NB. Для начала заметим, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, в два раза меньше гипотенузы. В нашем случае угол NBM это и есть угол в 30°, значит NB = BM * 2. Используя этот факт, мы можем найти NB, так как BM = 12: NB = 12 * 2 = 24. Теперь обратим внимание на то, что отрезки, соединяющие точку касания с ближайшими вершинами вписанного треугольника, равны. Таким образом, NK = KB (оба касаются стороны NB), а также OM = OK (оба касаются стороны BM). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника NBK у нас есть уравнение: NK^2 + BK^2 = NB^2, или 2NK^2 = NB^2 (так как NK = KB). Подставим известные значения и получим: 2NK^2 = 24^2, NK^2 = (24^2) / 2, NK^2 = 288, NK = √288 = √(144 * 2) = 12√2. Так как NK = OK, отрезок OK тоже равен 12√2. Таким образом, длина отрезка OK равна 12√2.