Привет! Давай посчитаем объемы этих параллелепипедов.
Для первой фигуры нам даны следующие измерения: ( BD = 10 \sqrt{2} ). Это диагональ основания параллелепипеда. Чтобы найти объем, нам нужно знать длину, ширину и высоту основания. Мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников, так как углы в основании данного параллелепипеда составляют 45 и 30 градусов, и это указывает на то, что основание является прямоугольником. Таким образом, стороны основания будут равны ( BD/\sqrt{2} ) (для более длинной стороны) и ( BD/2 ) (для более короткой стороны).
То есть:
( AB = BD/\sqrt{2} = 10 \sqrt{2} / \sqrt{2} = 10 ) (большая сторона)
( AD = BD/2 = 10 \sqrt{2} / 2 = 5 \sqrt{2} ) (меньшая сторона)
Так как форма ABCD является прямоугольником и ( BD ) - его диагональ, то ( BD^2 = AB^2 + AD^2 ). Теперь мы можем подсчитать высоту параллелепипеда, опустив перпендикуляр с точки ( B_1 ) на плоскость ( ABCD ). Диагональ ( B_1D ) создает прямоугольный треугольник ( BB_1D ). Учитывая, что ( \angle BDB_1 = 45^\circ ), получаем равнобедренный треугольник, где ( BB_1 = B_1D ). Мы уже знаем, что ( BD = 10 \sqrt{2} ), так что ( BB_1 = 10 ) (высота параллелепипеда).
Теперь можем найти объем:
( V = S_{осн} \times h = AB \times AD \times BB_1 = 10 \times 5 \sqrt{2} \times 10 = 500 \sqrt{2} ).
Теперь перейдем ко второму параллелепипеду.
Длина диагонали основания ( A_1C ) составляет 12, а высота ( B_1D ) — 10. Чтобы найти объем параллелепипеда, нам опять же нужно найти площадь основания и умножить ее на высоту. Основание является квадратом, так как его диагонали равны и углы между ними составляют ( 30^\circ ) и ( 30^\circ ). В таком случае диагональ разделяет квадрат на два равносторонних треугольника с углами ( 30^\circ ), ( 60^\circ ) и ( 90^\circ ). Из этого следует, что:
( AC = AA_1 \sqrt{2} = A_1C/2 = 12/2 = 6 ) (сторона квадрата).
Теперь площадь основания ( S = AC^2 = 6^2 = 36 ), и объем параллелепипеда будет:
( V = S \times h = 36 \times 10 = 360 ).
Итак, объем первого параллелепипеда - ( 500 \sqrt{2} ), а второго - ( 360 ) кубических единиц.
