Окей, давай разбираться с номером 63. Нужно решить задачу на геометрическую прогрессию (последовательность чисел, каждый член которой после первого получается из предыдущего умножением на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии).
В задаче даны четыре числа, которые образуют последовательность, являющуюся геометрической прогрессией, причём \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения \( x^2 + ax + 4 = 0 \), а \( x_3 \) и \( x_4 \) — корни уравнения \( x^2 + bx + 16 = 0 \). Нужно найти \( a \) и \( b \).
Итак, начнём по порядку:
1. Поскольку \( x_1 \) и \( x_2 \) являются корнями первого уравнения, они удовлетворяют свойствам корней квадратного уравнения. В частности для уравнения вида \( x^2 + px + q = 0 \), сумма корней равна \( -p \), а произведение корней равно \( q \). То есть для нашего первого уравнения \( x_1 + x_2 = -a \) и \( x_1 \cdot x_2 = 4 \).
2. Аналогично, для второго уравнения имеем: \( x_3 + x_4 = -b \) и \( x_3 \cdot x_4 = 16 \).
3. Так как числа являются членами геометрической прогрессии, то справедливо соотношение \( x_2 = x_1 \cdot r \) и \( x_3 = x_2 \cdot r \), а также \( x_4 = x_3 \cdot r \), где \( r \) — знаменатель прогрессии.
4. Из вышеуказанного следует, что \( x_1 \cdot x_2 = x_1^2 \cdot r \) (так как \( x_2 = x_1 \cdot r \)). Подставляем данное из условия значение произведения корней первого уравнения и получаем \( x_1^2 \cdot r = 4 \) или \( r = 4 / x_1^2 \).
5. Аналогично, для второго уравнения имеем \( x_3 \cdot x_4 = x_3^2 \cdot r \), что даст нам \( x_3^2 \cdot r = 16 \) или \( r = 16 / x_3^2 \).
6. У нас получилось два выражения для \( r \), теперь мы можем их приравнять: \( 4 / x_1^2 = 16 / x_3^2 \). Отсюда следует, что \( x_3^2 / x_1^2 = 4 \), и, значит, \( x_3 / x_1 = 2 \) или \( x_3 / x_1 = -2 \) (поскольку извлекая квадратный корень мы получаем два значения). Но поскольку \( x_3 = x_1 \cdot r \), то получаем, что \( r = 2 \) или \( r = -2 \).
7. Если \( r = 2 \), то \( x_1 \cdot 2 = x_2 \) и \( x_1 \cdot 4 = x_3 \). Используя свойства суммы и произведения корней, мы имеем:
- \( x_1 + 2x_1 = -a \) \( \rightarrow \) \( 3x_1 = -a \) \( \rightarrow \) \( x_1 = -a/3 \),
- \( -a/3 \cdot 4 = -b \) \( \rightarrow \) \( -4a/3 = -b \) \( \rightarrow \) \( b = 4a/3 \).
8. Используя \( x_1 \cdot x_2 = 4 \), подставляем \( x_1 \cdot 2x_1 = 4 \) и находим \( x_1 \):
- \( 2x_1^2 = 4 \) \( \rightarrow \) \( x_1^2 = 2 \) \( \rightarrow \) \( x_1 = \sqrt{2} \) или \( x_1 =-\sqrt{2} \).
Однако, \( x_1 \) должно быть положительным, так как оно меньше \( x_3 \), а \( x_3 / x_1 = 2 \) или \( x_3 / x_1 = -2 \) не может быть, если \( x_1 =-\sqrt{2} \), потому что тогда \( x_3 \) будет отрицательным, что невозможно для геометрической прогрессии с положительными членами (если прогрессия положительная, а \( r > 0 \), то все её члены положительны).
Итак, \( x_1 = \sqrt{2} \), тогда \( -a = 3 \cdot \sqrt{2} \) и \( a = -3 \cdot \sqrt{2} \).
Следовательно, \( b = 4a/3 = (-4 \cdot 3 \cdot \sqrt{2})/3 = -4 \cdot \sqrt{2} \).
Получаем, что \( a = -3 \cdot \sqrt{2} \) и \( b = -4 \cdot \sqrt{2} \).
