реши задачу
Давай разберемся с этим вместе.
Перед нами задача по нахождению коэффициента \( a \) для квадратичной функции вида \( y = ax^2 + bx + c \).
Ключевая информация здесь:
- Вершина параболы находится в точке \( (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}) \).
- Парабола пересекает ось \( Oy \) в точке \( (0; 1) \).
Из второго пункта мы сразу можем понять значение \( c \) - это свободный член, который равен значению функции, когда \( x = 0 \), то есть \( c = 1 \).
Теперь найдем коэффициент \( a \). Вершина параболы для функции \( y = ax^2 + bx + c \) находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} \). У нас координата вершины по оси \( x \) равна \( \frac{1}{2} \), следовательно:
\[ -\frac{b}{2a} = \frac{1}{2} \]
Отсюда выразим \( b \) через \( a \):
\[ b = -a \]
Также зная координаты вершины параболы, мы можем подставить их в уравнение параболы и найти коэффициент \( a \):
\[ y = ax^2 + bx + c \]
\[ \frac{1}{2} = a \left(\frac{1}{2}\right)^2 + b \left(\frac{1}{2}\right) + 1 \]
Подставим \( b = -a \) и \( c = 1 \) в эту формулу:
\[ \frac{1}{2} = a \left(\frac{1}{4}\right) - a \left(\frac{1}{2}\right) + 1 \]
Упростим:
\[ \frac{1}{2} = \frac{a}{4} - \frac{2a}{4} + 1 \]
\[ \frac{1}{2} = -\frac{a}{4} + 1 \]
Выразим \( a \):
\[ -\frac{a}{4} = \frac{1}{2} - 1 \]
\[ -\frac{a}{4} = -\frac{1}{2} \]
\[ a = 2 \]
Итак, коэффициент \( a \) для данной квадратичной функции равен 2.
