Реши задачу

Давай разберемся с этим вместе. Перед нами задача по нахождению коэффициента \( a \) для квадратичной функции вида \( y = ax^2 + bx + c \). Ключевая информация здесь: 1. Вершина параболы находится в точке \( (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}) \). 2. Парабола пересекает ось \( Oy \) в точке \( (0; 1) \). Из второго пункта мы сразу можем понять значение \( c \) - это свободный член, который равен значению функции, когда \( x = 0 \), то есть \( c = 1 \). Теперь найдем коэффициент \( a \). Вершина параболы для функции \( y = ax^2 + bx + c \) находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} \). У нас координата вершины по оси \( x \) равна \( \frac{1}{2} \), следовательно: \[ -\frac{b}{2a} = \frac{1}{2} \] Отсюда выразим \( b \) через \( a \): \[ b = -a \] Также зная координаты вершины параболы, мы можем подставить их в уравнение параболы и найти коэффициент \( a \): \[ y = ax^2 + bx + c \] \[ \frac{1}{2} = a \left(\frac{1}{2}\right)^2 + b \left(\frac{1}{2}\right) + 1 \] Подставим \( b = -a \) и \( c = 1 \) в эту формулу: \[ \frac{1}{2} = a \left(\frac{1}{4}\right) - a \left(\frac{1}{2}\right) + 1 \] Упростим: \[ \frac{1}{2} = \frac{a}{4} - \frac{2a}{4} + 1 \] \[ \frac{1}{2} = -\frac{a}{4} + 1 \] Выразим \( a \): \[ -\frac{a}{4} = \frac{1}{2} - 1 \] \[ -\frac{a}{4} = -\frac{1}{2} \] \[ a = 2 \] Итак, коэффициент \( a \) для данной квадратичной функции равен 2.