В угол А, градусная мера которого равна 60°, вписана окруж-ность, которая касается сторон данного угла в точках В и С. Луч, лежащий внутри угла ВАЄ, пересекает окружность в точках Р и Q AP = 3, PQ = 9. Вычислите периметр треугольника АВС

Обратимся к рисунку. Поскольку вписанный угол равен 60°, то треугольник ВС является равносторонним. Таким образом, ВС = ВС = 3. Также, AP = 3 и PQ = 9. Треугольник ВАР — прямоугольный, так как луч VA — радиус окружности, а AP — касательная. Зная, что AP = 3 и VA = 3, можем также утверждать, что ∠APR = ∠VAP = 90°. С помощью теоремы Пифагора в треугольнике APR, находим PR: PR² = AR² - AP² = 3² - 3² = 0, значит PR = 0. Таким образом, PQ + QR = 9. Далее, из свойств окружности мы знаем, что угол между хордой и касательной равен углу, накрывающему дугу хорды, а угол, образованный касательной и радиусом, равен углу в центре окружности, закрывающему ту же дугу. Из этого следует, что ∠PQR = ∠PAR. Но ∠PAR = 90°, поэтому треугольник ПQR также является прямоугольным. Теперь, используя теорему Пифагора, мы можем найти QR. 120 + QR² = 9² QR = √81 - 120 QR = √(81-120) QR = √39 Таким образом, PQ + QR = 9 + √39. И, учитывая, что ВС = 3 и три стороны треугольника АВС одинаковы (равносторонний треугольник), периметр треугольника АВС равен 3 + 3 + 9 + √39 = 6 + 9 + √39 = 15 + √39.