В угол А, градусная мера которого равна 60°, вписана окруж-ность, которая касается сторон данного угла в точках В и С. Луч, лежащий внутри угла ВАЄ, пересекает окружность в точках Р и Q AP = 3, PQ = 9. Вычислите периметр треугольника АВС

В данной задаче нам дан угол А, равный 60°, в который вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках В и С. Луч ВАЄ пересекает эту окружность в точках P и Q, где AP = 3, PQ = 9. Для нахождения периметра треугольника АВС нам нужно определить длины его сторон. Для этого обратимся к свойствам касательных и хорд в окружности. Так как AP и AQ - касательные из точки A, то треугольник APQ является равнобедренным (AP = AQ). Зная, что AP = 3, а PQ = 9, можем определить AQ = 3. Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике APQ (так как он прямоугольный), найдем сторону PQ: PQ^2 = AP^2 + AQ^2. Подставляя значения, получаем PQ^2 = 3^2 + 3^2 = 18, откуда PQ = √18 = 3√2. Теперь, имея стороны треугольника APQ, мы можем вычислить сторону AC. Так как треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом в точке B (угол ВАС), то AC будет равно \(AC = AP + PQ = 3 + 3\sqrt{2} = 3(1 + \sqrt{2}).\) Наконец, чтобы найти периметр треугольника ABC, сложим длины всех его сторон: Периметр = AB + AC + BC = AB + 3(1 + √2) + 3. Далее, рекомендуется подставить известные значения длин сторон в формулу и рассчитать конечный результат, что приведет к ответу на вопрос.