Докажите, что выражение 4х^2 +2у^2-4ху - 4х+2у +3 принимает лишь положительные значения при любых значениях входящих в него переменных

Для доказательства, что выражение 4x^2 + 2y^2 - 4xy - 4x + 2y + 3 принимает только положительные значения при любых значениях переменных x и y, давайте рассмотрим его в качестве квадратного трехчлена относительно x и y. Выражение можно переписать в следующем виде: 4x^2 - 4xy - 4x + 2y^2 + 2y + 3. Для того, чтобы это выражение было положительным при всех значениях x и y, давайте попробуем привести его к квадратному виду по одной из переменных. Заметим, что при фиксированных значениях x и y выражение 4x^2 - 4xy - 4x образует полный квадрат относительно x. 4x^2 - 4xy - 4x = 4(x^2 - xy - x) = 4((x - y/2)^2 - (y/2)^2 - x) = 4((x - y/2)^2 - y^2/4 - x). Таким образом, у нас получается выражение вида: 4((x - y/2)^2 - y^2/4 - x + 2y^2 + 2y + 3). Далее, преобразуем это выражение: 4(x - y/2)^2 - y^2 - 4x + 8y^2 + 8y + 12. Теперь мы видим, что данное выражение представляет собой сумму квадрата от x и некоторой константы: 4(x - y/2)^2 + 7y^2 + 8y + 12. Поскольку выражение 4(x - y/2)^2 является неотрицательным при любых значениях x и y, а у нас остались только положительные члены (7y^2 + 8y + 12), это доказывает, что исходное выражение 4x^2 + 2y^2 - 4xy - 4x + 2y + 3 принимает только положительные значения при любых значениях переменных x и y.